Diferencia entre número racional e irracional
Tema: ciencia.
Un número racional se puede escribir como una fracción exacta de dos números enteros y su expansión decimal es finita o periódica; un número irracional no se puede escribir como esa fracción y tiene infinitas cifras decimales que nunca se repiten en un patrón fijo.
Juntos, los números racionales y los irracionales forman el conjunto de los números reales, sin que ningún número pertenezca a la vez a los dos grupos.
Tabla comparativa: número racional e irracional
| Número racional | Número irracional | |
|---|---|---|
| Se expresa como fracción | Sí, siempre como a/b, con a y b enteros y b distinto de 0. | No, no existe ninguna fracción de enteros que lo represente exactamente. |
| Cifras decimales | Finitas, o infinitas pero periódicas. | Infinitas y no periódicas. |
| Símbolo del conjunto | ℚ | No tiene símbolo propio consolidado; se describe como ℝ menos ℚ. |
| Ejemplo | 1/2 = 0,5; 1/3 = 0,3333… (periódico); 7 = 7/1. | π ≈ 3,14159…; √2 ≈ 1,41421… |
Qué es un número racional
Un número racional es todo número que puede escribirse como el cociente de dos números enteros, a/b, con b distinto de cero. Esto incluye a los números enteros, porque cualquier entero n se puede escribir como n/1, y a todas las fracciones, tanto las que dan un decimal exacto, como 1/4 = 0,25, como las que dan un decimal periódico, es decir, con una cifra o un grupo de cifras que se repite indefinidamente, como 1/3 = 0,3333… o 2/11 = 0,181818…. El conjunto de los números racionales se representa con la letra ℚ, inicial de «cociente».
Una propiedad clave de los racionales es que siempre se puede pasar de la fracción al decimal y del decimal periódico de vuelta a una fracción exacta mediante un procedimiento algebraico sencillo. Esto no es posible con los números irracionales, cuyas cifras decimales no siguen ningún patrón que permita expresarlos como una fracción.
Qué es un número irracional
Un número irracional es todo número real que no puede escribirse como el cociente de dos números enteros. Su expansión decimal tiene infinitas cifras que no se repiten según ningún patrón periódico, aunque eso no significa que sean aleatorias: en el caso de números como π, definido como la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro, cada cifra decimal está perfectamente determinada, solo que la sucesión completa nunca se repite ni termina. Otro ejemplo clásico es √2, la longitud de la diagonal de un cuadrado de lado 1: se puede demostrar por reducción al absurdo que no existe ninguna fracción de enteros que dé exactamente ese valor.
Los números irracionales se dividen a su vez en algebraicos, como √2 o √3, que son solución de alguna ecuación polinómica con coeficientes enteros, y trascendentes, como π o el número e, que no lo son. En la práctica, los cálculos con números irracionales suelen aproximarse con un número finito de decimales, aunque esa aproximación nunca sea el valor exacto.
Ejemplos que muestran la diferencia
La fracción 5/8 es un número racional porque equivale exactamente a 0,625, un decimal finito.
El número √2, aproximadamente 1,41421…, es irracional: no existe ninguna fracción de enteros que dé ese valor exacto.
El decimal 0,777… (siete periódico) es racional, porque equivale a la fracción 7/9, aunque tenga infinitas cifras decimales.
Cuándo usar cada término
- Usa número racional cuando puedas escribir el número como una fracción exacta de enteros, aunque su decimal sea infinito, siempre que sea periódico.
- Usa número irracional cuando el decimal sea infinito y no periódico, o cuando sepas que el número no admite representación exacta como fracción de enteros.
- Ante una raíz cuadrada, comprueba si el radicando es un cuadrado perfecto: si lo es, el resultado es racional (√9 = 3); si no, es irracional (√7).
Preguntas frecuentes
¿Todos los decimales infinitos son irracionales?
No. Un decimal infinito es racional si es periódico, es decir, si a partir de una cifra se repite siempre el mismo grupo de números, como 0,3333…. Solo los decimales infinitos y no periódicos, como los de π o √2, corresponden a números irracionales.
¿Por qué √2 es irracional?
Porque se puede demostrar, por reducción al absurdo, que no existe ninguna fracción de dos números enteros cuyo cuadrado sea exactamente 2. Esta demostración se atribuye a la escuela pitagórica y es uno de los resultados más citados de la aritmética griega antigua.
¿Los números enteros son racionales o irracionales?
Son racionales, porque cualquier número entero n puede escribirse como la fracción n/1, que cumple la definición de número racional. Los números enteros forman, de hecho, un subconjunto del conjunto de los números racionales.