Diferencia entre permutación y combinación
Tema: ciencia.
La permutación es una agrupación de elementos en la que el orden importa; la combinación es una agrupación en la que el orden no importa. Ambas cuentan formas de elegir elementos sin repetirlos.
Por eso el mismo grupo de elementos da varias permutaciones pero una sola combinación: AB y BA son permutaciones distintas, pero la misma combinación.
Tabla comparativa: permutación y combinación
| Permutación | Combinación | |
|---|---|---|
| Qué es | Ordenación de todos o parte de los elementos de un conjunto. | Selección de un subconjunto de elementos, sin ordenarlos. |
| Importa el orden | Sí: AB y BA cuentan como resultados distintos. | No: AB y BA cuentan como el mismo resultado. |
| Fórmula (sin repetición) | P(n,r) = n! / (n − r)! | C(n,r) = n! / [r! (n − r)!] |
| Ejemplo con 5 elementos tomados de 3 en 3 | P(5,3) = 60 formas | C(5,3) = 10 formas |
| Pregunta típica | ¿De cuántas formas se pueden asignar cargos distintos? | ¿De cuántas formas se puede elegir un grupo? |
| Cuándo se usa | Contraseñas, clasificaciones, reparto de premios o cargos. | Loterías, comités, manos de cartas. |
Qué es la permutación
La permutación es el número de formas distintas en que se pueden ordenar todos o parte de los elementos de un conjunto, teniendo en cuenta el orden. Si se ordenan los n elementos de un conjunto de n en n, el resultado es n factorial (n!); si se toman de r en r sin repetir ningún elemento, se aplica la fórmula P(n,r) = n! / (n − r)!.
Por ejemplo, para repartir los cargos de presidente, secretario y tesorero entre 5 candidatos, el orden importa porque cada cargo es distinto: hay P(5,3) = 5! / (5 − 3)! = 120 / 2 = 60 formas posibles de asignar esos tres cargos.
Qué es la combinación
La combinación es el número de formas distintas en que se puede elegir un subconjunto de elementos de un conjunto mayor, sin que importe el orden de la selección. Se calcula con la fórmula C(n,r) = n! / [r! (n − r)!], que es la permutación dividida entre las r! formas de ordenar cada grupo elegido.
Con los mismos 5 candidatos, para formar un comité de 3 personas sin repartir cargos distintos, el orden ya no importa: hay C(5,3) = 120 / (6 × 2) = 10 comités posibles, seis veces menos que las permutaciones calculadas antes.
Ejemplos que muestran la diferencia
Al formar un número de cuatro cifras distintas con los dígitos 1, 2, 3 y 4, cada orden produce un número diferente: eso es una permutación.
Al elegir seis números para un boleto de lotería, da igual el orden en que se marquen las casillas: eso es una combinación.
Repartir el oro, la plata y el bronce entre ocho atletas es una permutación, porque cada medalla es un puesto distinto; elegir a tres de esos ocho atletas para un equipo, sin distinguir posiciones, es una combinación.
Cuándo usar cada término
- Usa permutación cuando el orden cambia el resultado o cuando los elementos elegidos ocupan posiciones o roles distintos.
- Usa combinación cuando solo importa qué elementos quedan seleccionados, sin distinguir posiciones ni roles entre ellos.
- Si dudas, comprueba si intercambiar dos elementos ya elegidos cambia el resultado: si lo cambia, es una permutación; si no, es una combinación.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula para calcular una permutación?
P(n,r) = n! / (n − r)!, donde n es el total de elementos disponibles y r los que se seleccionan y ordenan. Cuando se toman todos los elementos (r = n), la fórmula se reduce a n!.
¿Cuál es la fórmula para calcular una combinación?
C(n,r) = n! / [r! (n − r)!]. Es la misma permutación P(n,r) dividida entre r!, el número de formas de ordenar cada grupo de r elementos ya elegido.
¿Por qué la combinación siempre da un número menor o igual que la permutación?
Porque cada combinación de r elementos corresponde a r! permutaciones distintas, una por cada orden posible de esos mismos elementos. Al dividir entre r!, el resultado de la combinación nunca puede superar al de la permutación.