Significado de Factorial
Sustantivo masculino. Del latín factor, factōris, «el que hace», con el sufijo «-ial»; término adoptado por la matemática moderna.
El factorial de un número entero positivo es el producto de ese número por todos los enteros positivos menores que él, hasta llegar a 1.
Por definición, el factorial de cero es 1, un convenio que permite que las fórmulas de la combinatoria funcionen también en los casos límite.
Qué es un factorial
El factorial de un número entero positivo n se escribe n! y se calcula multiplicando n por todos los enteros positivos menores que él, hasta llegar a 1: n! = n × (n−1) × (n−2) × … × 2 × 1. Por ejemplo, el factorial de 5 es 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
El factorial también se puede definir de forma recursiva: n! es igual a n multiplicado por el factorial de (n−1), y el caso base es 0! = 1, definido por convenio como un producto vacío. Ese convenio no es arbitrario: hace que fórmulas como la de las combinaciones sigan funcionando cuando alguno de sus términos vale cero.
El factorial estándar solo se define para los enteros no negativos: no existe, en este sentido básico, el factorial de un número negativo ni el de un número con decimales.
El factorial es una herramienta central de la combinatoria y la probabilidad, porque n! cuenta de cuántas formas distintas se pueden ordenar n objetos diferentes; también aparece en el análisis matemático, por ejemplo en el desarrollo en serie de funciones como la exponencial.
Origen de la palabra factorial
Del latín factor, factōris, «el que hace o produce», derivado de facĕre, «hacer»; con el sufijo «-ial» se formó el adjetivo «factorial» para nombrar el producto de una cadena de factores.
La operación de multiplicar cadenas de números consecutivos ya se usaba en problemas de combinatoria desde antes, pero la notación con el símbolo de exclamación, n!, se atribuye al matemático francés Christian Kramp, que la introdujo en 1808 precisamente para simplificar la escritura de este tipo de productos.
Cómo se calcula un factorial
| n | Cálculo | n! |
|---|---|---|
| 0 | Producto vacío, por definición. | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
| 3 | 3 × 2 × 1 | 6 |
| 5 | 5 × 4 × 3 × 2 × 1 | 120 |
| 10 | 10 × 9 × 8 × 7 × 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 | 3 628 800 |
Ejemplos de uso de factorial
El factorial de 5 es 120, porque 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120.
Para ordenar 4 libros distintos en una estantería hay 4! = 24 maneras posibles.
En una carrera de 6 corredores, hay 6! = 720 órdenes de llegada posibles, sin contar empates.
El factorial de 0 se define como 1, no como 0, para que las fórmulas de combinatoria no se rompan.
La calculadora científica del alumno mostró que 10! equivale a 3 628 800.
Sinónimos y palabras relacionadas
Sinónimos: no tiene sinónimos exactos; se representa siempre con el símbolo «!», que nunca se sustituye por otra palabra.
Antónimos: no tiene antónimo, por tratarse de una operación matemática y no de una cualidad.
No es lo mismo que:
- Exponente: eleva un número a una potencia fija, como 5² = 25; el factorial multiplica una cadena de números consecutivos distintos entre sí.
- Sumatoria: suma una serie de términos; el factorial siempre multiplica, nunca suma.
- Combinación: usa factoriales en su fórmula, pero no es un factorial en sí misma, sino una forma de contar cuántos subconjuntos de un tamaño dado se pueden formar.
Preguntas frecuentes sobre factorial
¿Cuánto es el factorial de un número negativo?
El factorial estándar no está definido para números negativos: solo se define para los enteros no negativos, es decir, para 0 y los enteros positivos.
¿Por qué el factorial de 0 es 1 y no 0?
Porque, por convenio matemático, el factorial de 0 se define como el producto vacío, que vale 1. Ese convenio hace que fórmulas como las de las combinaciones sigan funcionando también en los casos límite.
¿Para qué se usa el factorial?
Sobre todo en combinatoria y probabilidad, para contar de cuántas maneras distintas se pueden ordenar o agrupar un conjunto de elementos, como en el cálculo de permutaciones y combinaciones.